Über die Ruinwahrscheinlichkeit im klassischen Risikomodell mit einer Verallgemeinerung auf nicht Poisson-verteilte Schadensanzahl

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Diplomarbeit aus dem Jahr 2004 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Note: 2,0, Universität Leipzig (Mathematisches Institut), Veranstaltung: Versicherungsmathematik, Sprache: Deutsch, Abstract: Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Ruinwahrscheinlichkeiten in Risikomodellen. Die Bestimmung und Abschätzung von Ruinwahrscheinlichkeiten ist Gegenstand der Ruintheorie, die ein Teilgebiet der Risikotheorie darstellt. Im Gegensatz zur Lebensversicherungsmathematik beschäftigt sich die Risikotheorie mit Sachversicherungen. Deshalb wird sie auch als Sach- oder Nichtlebens-Versicherungsmathematik bezeichnet. Kennzeichnend für Sachversicherungen ist die zufällige Anzahl, die zufällige Höhe sowie das zufällige Eintreten von Schäden. Dies führt zur Notwendigkeit, anspruchsvolle mathematische Modelle zu entwickeln und zu beschreiben. Die Ruintheorie kann somit auch als eine spezielle Theorie stochastischer Prozesse angesehen werden. Das zweite Kapitel des vorliegenden Textes stellt eine allgemeine Hinführung zum Thema dar. Es wird zuerst das diskrete und dann das stetige Risikomodell betrachtet. Im Rahmen dieser zwei Modelle werden die grundlegenden Größen definiert und erklärt, angefangen von der Beschreibung des Risikoreserveprozesses bis hin zur Definition der Ruinwahrscheinlichkeit. Im dritten Kapitel wird das so genannte klassische Risikomodell eingeführt. Wir halten uns dabei im Wesentlichen an das Buch „Stochastic Processes for Insurance and Finance“ von Rolski, Schmidli, Schmidt und Teugels. Das eingeführte Modell wird üblicherweise für Berechnungen in der Praxis herangezogen. Es lässt sich durch folgende vier Annahmen grob skizzieren: 1. Man geht von einer Poisson-verteilten Schadensanzahl aus. 2. Die Schäden werden durch eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen beschrieben. 3. Die Schadensanzahl und die Schäden sind unabhängig voneinander. 4. Prämien werden konstant gezahlt. Nach allgemeinen Betrachtungen über den Poisson-Prozess werden in diesem Kapitel Untersuchungen zur Differenzierbarkeit der Überlebenswahrscheinlichkeit, dem Pendant zur Ruinwahrscheinlichkeit, angestellt sowie eine einfachere Darstellung dieser Wahrscheinlichkeiten ausgearbeitet. Der letzte Abschnitt des Kapitels beschäftigt sich schließlich mit Laplace-Transformationen der Wahrscheinlichkeiten. Anhand ausgewählter Beispiele wird gezeigt, dass diese eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Ruinwahrscheinlichkeit spielen. [...]