Suites de Sturm, indice de Maslov et périodicité de Bott

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<P>La théorie classique des suites de Sturm fournit un algorithme pour déterminer le nombre de racines d’un polynôme à coefficients réels contenues dans un intervalle donné. L’objet principal de ce mémoire est de montrer qu’une généralisation adéquate de la théorie des suites de Sturm fournit entre autres choses:</P><UL><P><LI>une notion d’indice de Maslov pour un lacet algébrique de lagrangiens défini sur un anneau commutatif;</LI><P></P><P><LI>une démonstration du théorème fondamental de la K-théorie (algébrique) hermitienne, théorème dû à M. Karoubi;</LI><P></P><P><LI>une démonstration des théorèmes de périodicité de Bott (topologique), dans l’esprit des travaux de F. Latour;</LI><P></P><P><LI>un calcul du groupe K<SUB>2</SUB> relatif, symplectique-linéaire, pour tous les anneaux commutatifs, dans l’esprit des travaux de R. Sharpe.</LI><P></P></UL><P>Le livre est dans la mesure du possible « self-contained » et élémentaire: il met essentiellement en oeuvre des arguments d’algèbre linéaire ou bilinéaire. Il présente une approche unifiée de l’indice de Maslov en termes de suites de Sturm et de formes quadratiques.</P>